Упр.241 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 241. Составьте уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения x^3+px+q=0.

Пусть $$x_1,\;x_2,\;x_3$$ — корни уравнения $$x^3+px+q=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2+x_3=0,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=p,$$

$$x_1x_2x_3=-q.$$

Найдем сумму, сумму попарных произведений и произведение кубов корней:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)= -3q.$$

Значит, для корней $$y_1=x_1^3,\;y_2=x_2^3,\;y_3=x_3^3$$ имеем

$$y_1+y_2+y_3=-3q.$$

Далее

$$y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=(x_1x_2)^3+(x_1x_3)^3+(x_2x_3)^3=p^3+3q^2,$$

а также

$$y_1y_2y_3=(x_1x_2x_3)^3=-q^3.$$

По теореме Виета искомое уравнение имеет вид

$$x^3-(y_1+y_2+y_3)x^2+(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3)x-y_1y_2y_3=0.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$x^3+3qx^2+(p^3+3q^2)x+q^3=0.$$

Ответ

$$x^3+3qx^2+(p^3+3q^2)x+q^3=0.$$