Упр.240 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 240. Докажите, что если все корни уравнения x^3+px+q=0 — действительные числа и хотя бы один из них отличен от нуля, то p < 0.

Рассмотрим уравнение $$x^3+px+q=0$$ и его корни $$x_1,\;x_2,\;x_3.$$ По условию все корни действительные, и хотя бы один из них отличен от нуля.

По формулам Виета для приведённого кубического уравнения имеем:

$$x_1+x_2+x_3=0,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=p,$$

$$x_1x_2x_3=-q.$$

Так как хотя бы один корень отличен от нуля, то не все корни равны нулю. Но сумма корней равна нулю, значит среди них есть корни разных знаков: либо один положительный и два отрицательных, либо один отрицательный и два положительных.

Рассмотрим произведение попарных сумм:

$$p=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3.$$

Если все три корня действительные и не все равны нулю, то при сумме, равной нулю, это выражение отрицательно. Действительно, из равенства $$x_1+x_2+x_3=0$$ получаем, например, $$x_3=-(x_1+x_2),$$ тогда

$$p=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=x_1x_2-x_1(x_1+x_2)-x_2(x_1+x_2)$$

$$=-(x_1^2+x_2^2+x_1x_2).$$

Так как не все корни равны нулю, то хотя бы одно из чисел $$x_1,\;x_2$$ не равно нулю, а значит

$$x_1^2+x_2^2+x_1x_2>0.$$

Следовательно,

$$p=-(x_1^2+x_2^2+x_1x_2)<0.$$

Ответ

$$p<0.$$