Упр.239 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 239. Запишите уравнение четвёртой степени, корни которого противоположны корням уравнения x^4+x^3-2x^2+12x-16=0.

Пусть корни данного уравнения $$x^4+x^3-2x^2+12x-16=0$$ равны $$x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4.$$

Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=-1,$$
$$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=-2,$$
$$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-12,$$
$$x_1x_2x_3x_4=-16.$$

Если новые корни противоположны данным, то они имеют вид $$-x_1,\,-x_2,\,-x_3,\,-x_4.$$

Для уравнения с такими корнями сумма корней меняет знак, произведение остаётся тем же, а суммы попарных и тройных произведений меняют знак соответственно. Поэтому получаем:

$$(-x_1)+(-x_2)+(-x_3)+(-x_4)=1,$$
$$(-x_1)(-x_2)+\cdots = -2,$$
$$(-x_1)(-x_2)(-x_3)+\cdots = 12,$$
$$(-x_1)(-x_2)(-x_3)(-x_4)=-16.$$

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

$$x^4-x^3-2x^2-12x-16=0.$$

Ответ

$$x^4-x^3-2x^2-12x-16=0.$$