Упр.237 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 237. Составьте кубическое уравнение, корни которого обратны корням уравнения x^3-3x^2-10x+24=0.

Пусть корни данного уравнения $$x^3-3x^2-10x+24=0$$ равны $$x_1, x_2, x_3.$$ Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2+x_3=3,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-10,$$

$$x_1x_2x_3=-24.$$

Найдём сумму, сумму попарных произведений и произведение обратных корней:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{-10}{-24}=\frac{5}{12},$$

$$\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_1x_3}+\frac{1}{x_2x_3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{3}{-24}=-\frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{x_1x_2x_3}=\frac{1}{-24}=-\frac{1}{24}.$$

Следовательно, уравнение с корнями $$\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}$$ имеет вид:

$$x^3-\frac{5}{12}x^2-\frac{1}{8}x+\frac{1}{24}=0.$$

Умножим обе части на $$24$$:

$$24x^3-10x^2-3x+1=0.$$

Ответ

$$24x^3-10x^2-3x+1=0.$$