Упр.236 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 236. Выразите через симметрические многочлены ?_1, ?_1, _3 сумму кубов корней кубического уравнения.

Пусть корни кубического уравнения равны $$x_1,\;x_2,\;x_3.$$ Обозначим симметрические многочлены:

$$\sigma_1=x_1+x_2+x_3,\qquad \sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3,\qquad \sigma_3=x_1x_2x_3.$$

Тогда сумма кубов корней:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)+3x_1x_2x_3.$$

Подставим обозначения:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3.$$

Ответ

$$\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3.$$