Упр.235 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$(5x-2)(x+6)>0$$;
   б) $$(x-0{,}3)(6x-1)(5-2x)>0$$;
   в) $$(2x-7)(x+6)(4-x)?0$$;
   г) $$x^2(x+3)(3-2x)>0$$;
   д) $$x(2x-15)(x-6)^2<0$$;
   е) $$x(2x+3)(x-1{,}6)^2>0$$.
2. Докажите, что для квадратного уравнения, имеющего корни $$x_1$$ и $$x_2$$, справедливо равенство $$x_1^4+x_2^4=?_1^4-4?_1^2?_2+2?_2^2$$.

Обозначим сумму и произведение корней квадратного уравнения:

$$\sigma_1=x_1+x_2,\qquad \sigma_2=x_1x_2.$$

Тогда

$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2.$$

Но

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\sigma_1^2-2\sigma_2,$$

а также

$$x_1^2x_2^2=\sigma_2^2.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$x_1^4+x_2^4=(\sigma_1^2-2\sigma_2)^2-2\sigma_2^2 =\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+4\sigma_2^2-2\sigma_2^2 =\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+2\sigma_2^2.$$

Следовательно,

$$x_1^4+x_2^4=\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+2\sigma_2^2.$$

Ответ

$$x_1^4+x_2^4=\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+2\sigma_2^2.$$