Упр.235 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 235. Докажите, что для квадратного уравнения, имеющего корни x_1 и x_2, справедливо равенство x_1^4+x_2^4=?_1^4-4?_1^2?_2+2?_2^2.

Обозначим сумму и произведение корней квадратного уравнения:

$$\sigma_1=x_1+x_2,\qquad \sigma_2=x_1x_2.$$

Тогда

$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2.$$

Но

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\sigma_1^2-2\sigma_2,$$

а также

$$x_1^2x_2^2=\sigma_2^2.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$ x_1^4+x_2^4=(\sigma_1^2-2\sigma_2)^2-2\sigma_2^2 =\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+4\sigma_2^2-2\sigma_2^2 =\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+2\sigma_2^2. $$

Следовательно,

$$x_1^4+x_2^4=\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+2\sigma_2^2.$$

Ответ

$$x_1^4+x_2^4=\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+2\sigma_2^2.$$