Упр.231 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=x^2-6x+8; в) y=x^2-6|x|+8;
б) y=|x^2-6x+8|; г) y=|x^2-6|x|+8|.

1. а) $$y=x^2-6x+8$$

   Приведём к виду полного квадрата:

   $$y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1.$$

   Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина: $$\left(3,-1\right).$$

   Наименьшее значение функции равно $$-1$$, значит область значений:

   $$y\in[-1;+\infty).$$

2. б) $$y=\left|x^2-6x+8\right|$$

   Так как берётся модуль значения функции, все отрицательные значения графика отражаются относительно оси $$Ox$$ вверх.

   Минимальное значение становится равным $$0$$, поэтому:

   $$y\in[0;+\infty).$$

3. в) $$y=x^2-6|x|+8$$

   Рассмотрим отдельно случаи:

   $$x\ge 0:\quad y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1,$$
   $$x<0:\quad y=x^2+6x+8=(x+3)^2-1.$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Наименьшее значение достигается в точках $$x=\pm 3$$ и равно $$-1$$.

   Следовательно, область значений:

   $$y\in[-1;+\infty).$$

4. г) $$y=\left|x^2-6|x|+8\right|$$

   Сначала рассмотрим выражение под модулем:

   $$x^2-6|x|+8=(|x|-3)^2-1.$$

   Минимум этого выражения равен $$-1$$, а после взятия модуля все значения становятся неотрицательными.

   Значит, область значений:

   $$y\in[0;+\infty).$$

Ответ

а) $$y\in[-1;+\infty)$$;
б) $$y\in[0;+\infty)$$;
в) $$y\in[-1;+\infty)$$;
г) $$y\in[0;+\infty)$$.