Упр.228 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) 2x^4-4x^3+x^2-6x-3=0;
б) 3x^4+3x^3-8x^2+x-3=0;
в) 2x^4+7x^3+x^2-8x+2=0;
г) 2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=0.
а) Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трёхчленов:
$$2x^4-4x^3+x^2-6x-3=(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Тогда
$$2x^4+(a+2c)x^3+(ac+b+2d)x^2+(ad+bc)x+bd=0.$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$b=3,\ d=-1,\ a=0,\ c=-2.$$
Значит,
$$2x^4-4x^3+x^2-6x-3=(2x^2+3)(x^2-2x-1).$$
Решаем уравнения:
$$2x^2+3=0$$
действительных корней не имеет, а
$$x^2-2x-1=0,$$
$$D=4+4=8,$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt2.$$
б) Ищем разложение:
$$3x^4+3x^3-8x^2+x-3=(3x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Тогда
$$3x^4+(a+3c)x^3+(ac+b+3d)x^2+(ad+bc)x+bd=0.$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$b=1,\ d=-3,\ a=0,\ c=1.$$
Следовательно,
$$3x^4+3x^3-8x^2+x-3=(3x^2+1)(x^2+x-3).$$
Уравнение
$$3x^2+1=0$$
не имеет действительных корней, а
$$x^2+x-3=0,$$
$$D=1+12=13,$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.$$
в) Разложим на множители:
$$2x^4+7x^3+x^2-8x+2=(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Тогда
$$2x^4+(a+2c)x^3+(ac+b+2d)x^2+(ad+bc)x+bd=0.$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$b=-1,\ d=-2,\ a=3,\ c=2.$$
Значит,
$$2x^4+7x^3+x^2-8x+2=(2x^2+3x-1)(x^2+2x-2).$$
Решаем два квадратных уравнения:
$$2x^2+3x-1=0,$$
$$D=9+8=17,$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4};$$
$$x^2+2x-2=0,$$
$$D=4+8=12,$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt3.$$
г) Ищем разложение:
$$2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Тогда
$$2x^4+(a+2c)x^3+(ac+b+2d)x^2+(ad+bc)x+bd=0.$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$b=-4,\ d=1,\ a=-1,\ c=3.$$
Следовательно,
$$2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=(2x^2-x-4)(x^2+3x+1).$$
Решаем уравнения:
$$2x^2-x-4=0,$$
$$D=1+32=33,$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{4};$$
$$x^2+3x+1=0,$$
$$D=9-4=5,$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$$
Ответ
а) $$1\pm\sqrt2$$; б) $$\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$$; в) $$\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4},\ -1\pm\sqrt3$$; г) $$\frac{1\pm\sqrt{33}}{4},\ \frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$.
