Упр.226 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 226. Зная, что один из корней уравнения 4x^4-12x^3+13x^2-12x+a=0 равен 2, найдите а и другие корни уравнения.

Подставим известный корень $$x=2$$ в уравнение

$$4x^4-12x^3+13x^2-12x+a=0.$$

Получаем:

$$4\cdot 2^4-12\cdot 2^3+13\cdot 2^2-12\cdot 2+a=0,$$

$$64-96+52-24+a=0,$$

$$-4+a=0,$$

$$a=4.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$4x^4-12x^3+13x^2-12x+4=0.$$

Разделим на $$x^2$$:

$$4x^2-12x+13-\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=0.$$

Сгруппируем с помощью выражения $$x+\frac{1}{x}$$:

$$4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-12\left(x+\frac{1}{x}\right)+13=0,$$

$$4\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-12\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0.$$

Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$4y^2-12y+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=12^2-4\cdot 4\cdot 5=144-80=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm 8}{2\cdot 4}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac{1}{2}, \qquad y_2=\frac{5}{2}.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2},$$ то

$$2x^2-x+2=0,$$

$$D=1-16<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2},$$ то

$$2x^2-5x+2=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1}{2}, \qquad x_2=2.$$

Ответ

$$a=4,$$ другие корни уравнения: $$\frac{1}{2}$$ и $$2$$.