Упр.225 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0;
б) x^4+3x^3-8x^2+3x+1=0;
в) 4x^4-8x^3-37x^2-8x+4=0;
г) x^4-x^3+x^2-x+1=0.
а) $$x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
Сгруппируем:
$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+4=0$$
Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$y^2-5y+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$y_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad y_2=\frac{5+3}{2}=4$$
1) $$x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$$, корней нет, так как $$D=1-4=-3<0$$.
2) $$x+\frac{1}{x}=4 \Rightarrow x^2-4x+1=0$$
$$D=16-4=12$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}$$
б) $$x^4+3x^3-8x^2+3x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$x^2+3x-8+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+3\left(x+\frac{1}{x}\right)-8=0$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+3\left(x+\frac{1}{x}\right)-10=0$$
Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$y^2+3y-10=0$$
$$D=9+40=49$$
$$y_1=\frac{-3-7}{2}=-5,\quad y_2=\frac{-3+7}{2}=2$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-5 \Rightarrow x^2+5x+1=0$$
$$D=25-4=21$$
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}$$
2) $$x+\frac{1}{x}=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0,\quad x=1$$
в) $$4x^4-8x^3-37x^2-8x+4=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$4x^2-8x-37-\frac{8}{x}+\frac{4}{x^2}=0$$
$$4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-8\left(x+\frac{1}{x}\right)-37=0$$
$$4\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-8\left(x+\frac{1}{x}\right)-45=0$$
Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$4y^2-8y-45=0$$
$$D=64+720=784$$
$$y_1=\frac{8-28}{8}=-\frac{5}{2},\quad y_2=\frac{8+28}{8}=\frac{9}{2}$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2+5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x=\frac{-5\pm3}{4}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=-\frac{1}{2}$$
2) $$x+\frac{1}{x}=\frac{9}{2} \Rightarrow 2x^2-9x+2=0$$
$$D=81-16=65$$
$$x=\frac{9\pm\sqrt{65}}{4}$$
г) $$x^4-x^3+x^2-x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$:
$$x^2-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0$$
Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$y^2-y-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$y_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\quad y_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Для действительных корней должно быть $$\left|x+\frac{1}{x}\right|\ge 2$$, но
$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\in(-2,2),\quad \frac{1+\sqrt{5}}{2}\in(-2,2)$$
значит, действительных решений нет.
Ответ
а) $$x=2\pm\sqrt{3}$$;
б) $$x=1,\ \frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}$$;
в) $$x=-2,\ -\frac{1}{2},\ \frac{9\pm\sqrt{65}}{4}$$;
г) корней нет.
