Упр.224 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 224. Докажите, что симметрическое уравнение нечётной степени имеет корень —1.

Рассмотрим симметрическое уравнение нечётной степени:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0,\qquad n=2k-1.$$

Подставим $$x=-1$$:

$$P(-1)=a_n(-1)^n+a_{n-1}(-1)^{n-1}+\dots+a_{n-1}(-1)+a_n.$$

Так как $$n$$ — нечётное, то знаки при слагаемых чередуются, и одинаковые коэффициенты в симметрическом уравнении взаимно уничтожаются:

$$P(-1)=-a_n+a_{n-1}-a_{n-2}+\dots+a_{n-2}-a_{n-1}+a_n=0.$$

Следовательно, $$x=-1$$ является корнем данного уравнения.

Ответ

$$-1$$