Упр.22 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 22. Докажите, что если f(x) — убывающая функция, a g(x) — возрастающая функция, то y=f(g(x)) — убывающая функция. Что в этом случае можно сказать о функции ?(x)=g(f(x))? Сформулируйте свойство композиции двух функций с разным характером монотонности.

Пусть $$f(x)$$ — убывающая функция, а $$g(x)$$ — возрастающая функция.

Докажем, что композиция $$y=f(g(x))$$ убывает.

Возьмём любые $$x_1$$ и $$x_2$$ такие, что $$x_2>x_1$$. Тогда, так как $$g(x)$$ возрастает, имеем

$$g(x_2)>g(x_1).$$

Поскольку $$f(x)$$ убывает, из неравенства $$g(x_2)>g(x_1)$$ следует

$$f(g(x_2))<f(g(x_1)).$$

Значит, при $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(g(x_2))<f(g(x_1))$$, то есть функция $$y=f(g(x))$$ убывает.

Аналогично рассмотрим функцию $$y=g(f(x))$$. Если $$x_2>x_1$$, то из убывания $$f(x)$$ получаем

$$f(x_2)<f(x_1).$$

Так как $$g(x)$$ возрастает, то

$$g(f(x_2))<g(f(x_1)).$$

Следовательно, функция $$y=g(f(x))$$ тоже убывает.

Итак, композиция двух функций с разным характером монотонности является убывающей функцией.

Ответ

$$f(g(x))$$ — убывающая функция; $$g(f(x))$$ — тоже убывающая функция. Композиция возрастающей и убывающей функций является убывающей.