Упр.219 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (y-1)^4+(y+1)^4=16;
б) (t-3)^4+(t+1)^4=256.

а)

$$ (y-1)^4+(y+1)^4=16 $$
Раскроем скобки:
$$ (y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=16 $$
$$ 2y^4+12y^2+2=16 $$
$$ 2y^4+12y^2-14=0 $$
$$ y^4+6y^2-7=0 $$
Обозначим $$z=y^2$$. Тогда получаем:
$$ z^2+6z-7=0 $$
$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64 $$
$$ z_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2} $$
$$ z_1=-7,\quad z_2=1 $$
Так как $$z=y^2\ge 0$$, значение $$z=-7$$ не подходит. Тогда
$$ y^2=1 $$
$$ y=\pm 1 $$

б)

$$ (t-3)^4+(t+1)^4=256 $$
Раскроем скобки:
$$ (t^4-12t^3+54t^2-108t+81)+(t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=256 $$
$$ 2t^4-8t^3+60t^2-104t+82=256 $$
$$ 2t^4-8t^3+60t^2-104t-174=0 $$
$$ t^4-4t^3+30t^2-52t-87=0 $$
Разложим на множители:
$$ t^4-4t^3+30t^2-52t-87=(t+1)(t-3)(t^2-2t+29) $$
Тогда
$$ (t+1)(t-3)(t^2-2t+29)=0 $$
Отсюда
$$ t=-1 \quad \text{или} \quad t=3 $$
Уравнение $$t^2-2t+29=0$$ действительных корней не имеет, так как
$$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 29=4-116<0 $$

Ответ

а) $$y=-1,\ 1$$;
б) $$t=-1,\ 3$$.