Упр.218 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^5-2x^4+x^3-2x^2+x-2=0; в) x^5-3x^3+x^2-3=0;
б) x^5+x^4-6x^3-6x^2+8x+8=0; г) 2x^5-x^3+2x^2-1=0.

1. а)

   $$x^5-2x^4+x^3-2x^2+x-2=0$$
   $$x^4(x-2)+x^2(x-2)+(x-2)=0$$
   $$\left(x^4+x^2+1\right)(x-2)=0$$
   $$x-2=0$$
   $$x=2$$

2. б)

   $$x^5+x^4-6x^3-6x^2+8x+8=0$$
   $$x^4(x+1)-6x^2(x+1)+8(x+1)=0$$
   $$\left(x^4-6x^2+8\right)(x+1)=0$$
   $$x^4-6x^2+8=0$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-6t+8=0$$
   $$D=36-32=4$$
   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
   $$t_1=2,\quad t_2=4$$
   Значит,
   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$$
   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
   И ещё
   $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$

3. в)

   $$x^5-3x^3+x^2-3=0$$
   $$x^3(x^2-3)+(x^2-3)=0$$
   $$\left(x^3+1\right)(x^2-3)=0$$
   $$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$$
   Из уравнения $$x+1=0$$ получаем $$x=-1$$, а из $$x^2-3=0$$ получаем
   $$x=\pm\sqrt{3}$$
   Уравнение $$x^2-x+1=0$$ действительных корней не имеет.

4. г)

   $$2x^5-x^3+2x^2-1=0$$
   $$2x^2(x^3+1)-(x^3+1)=0$$
   $$\left(2x^2-1\right)\left(x^3+1\right)=0$$
   $$\left(2x^2-1\right)(x+1)(x^2-x+1)=0$$
   Тогда
   $$2x^2-1=0 \Rightarrow x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$
   Уравнение $$x^2-x+1=0$$ действительных корней не имеет.

Ответ

а) $$2$$;
б) $$-2,\,-\sqrt{2},\,-1,\,\sqrt{2},\,2$$;
в) $$-\sqrt{3},\,-1,\,\sqrt{3}$$;
г) $$-1,\,-\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2}$$.