Упр.217 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) x^3=x^2-2; г) (x+2)^3+2(x-1)^2=66;
б) x^3+x^2-x+2=0; д) (x+3)^3-(x-1)^2-4=0;
в) x^3+x^2-7x+5=0; е) (x-3)^3+8(x-2)^2=0.

Подробный ответ

а) $$x^3=x^2-2$$
Перенесём всё в левую часть:
$$x^3-x^2+2=0$$
Подбираем корень: при $$x=-1$$ получаем
$$(-1)^3-(-1)^2+2=-1-1+2=0.$$
Значит, $$x+1$$ — множитель:
$$x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2).$$
Тогда
$$ (x+1)(x^2-2x+2)=0.$$
Квадратное уравнение $$x^2-2x+2=0$$ не имеет действительных корней, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0.$$
Следовательно, единственный корень:
$$x=-1.$$
б) $$x^3+x^2-x+2=0$$
Проверим корень $$x=-2$$:
$$(-2)^3+(-2)^2-(-2)+2=-8+4+2+2=0.$$
Тогда
$$x^3+x^2-x+2=(x+2)(x^2-x+1).$$
Получаем
$$ (x+2)(x^2-x+1)=0.$$
Уравнение $$x^2-x+1=0$$ не имеет действительных корней, так как
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0.$$
Значит,
$$x=-2.$$
в) $$x^3+x^2-7x+5=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3+1^2-7\cdot 1+5=1+1-7+5=0.$$
Тогда
$$x^3+x^2-7x+5=(x-1)(x^2+2x-5).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+2x-5=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-5)=4+20=24.$$
$$x=\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}=-1\pm \sqrt{6}.$$
Итак, корни:
$$x=1,\quad x=-1-\sqrt{6},\quad x=-1+\sqrt{6}.$$
г) $$ (x+2)^3+2(x-1)^2=66$$
Раскроем скобки:
$$x^3+6x^2+12x+8+2x^2-4x+2=66$$
$$x^3+8x^2+8x-56=0.$$
Проверим корень $$x=2$$:
$$2^3+8\cdot 2^2+8\cdot 2-56=8+32+16-56=0.$$
Тогда
$$x^3+8x^2+8x-56=(x-2)(x^2+10x+28).$$
Уравнение $$x^2+10x+28=0$$ не имеет действительных корней, так как
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 28=100-112=-12<0.$$
Следовательно,
$$x=2.$$
д) $$ (x+3)^3-(x-1)^2-4=0$$
Раскроем скобки:
$$x^3+9x^2+27x+27-(x^2-2x+1)-4=0$$
$$x^3+8x^2+29x+22=0.$$
Проверим корень $$x=-1$$:
$$(-1)^3+8\cdot (-1)^2+29\cdot (-1)+22=-1+8-29+22=0.$$
Тогда
$$x^3+8x^2+29x+22=(x+1)(x^2+7x+22).$$
Уравнение $$x^2+7x+22=0$$ не имеет действительных корней, так как
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 22=49-88=-39<0.$$
Значит,
$$x=-1.$$
е) $$ (x-3)^3+8(x-2)^2=0$$
Раскроем скобки:
$$x^3-9x^2+27x-27+8x^2-32x+32=0$$
$$x^3-x^2-5x+5=0.$$
Сгруппируем:
$$x^3-x^2-5x+5=x^2(x-1)-5(x-1)=(x^2-5)(x-1).$$
Тогда
$$ (x^2-5)(x-1)=0.$$
Отсюда
$$x^2-5=0 \quad \text{или} \quad x-1=0.$$
Получаем
$$x=\pm \sqrt{5}, \quad x=1.$$