Упр.214 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 214. Докажите, что если сумма коэффициентов при нечётных степенях переменной в многочлене P(x) равна сумме коэффициентов при чётных степенях переменной, то одним из корней уравнения P(x)=0 (и корнем многочлена) является число —1. Докажите обратное утверждение.

Пусть

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Подставим в многочлен число $$-1$$:

$$P(-1)=a_n(-1)^n+a_{n-1}(-1)^{n-1}+\dots+a_1(-1)+a_0.$$

Сгруппируем слагаемые с чётными и нечётными степенями:

$$P(-1)=(a_0+a_2+\dots+a_n)-(a_1+a_3+\dots+a_{n-1}).$$

Если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна сумме коэффициентов при чётных степенях, то

$$a_0+a_2+\dots+a_n=a_1+a_3+\dots+a_{n-1},$$

значит,

$$P(-1)=0.$$

Следовательно, число $$-1$$ является корнем многочлена $$P(x)$$ и уравнения $$P(x)=0$$.

Докажем обратное утверждение. Если $$-1$$ — корень многочлена, то

$$P(-1)=0.$$

Тогда

$$a_0+a_2+\dots+a_n-(a_1+a_3+\dots+a_{n-1})=0,$$

откуда

$$a_0+a_2+\dots+a_n=a_1+a_3+\dots+a_{n-1}.$$

То есть сумма коэффициентов при чётных степенях равна сумме коэффициентов при нечётных степенях.

Ответ

Если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна сумме коэффициентов при чётных степенях, то $$-1$$ является корнем многочлена. Обратно, если $$-1$$ — корень многочлена, то суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях равны.