Упр.213 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 213. Докажите, что если сумма коэффициентов многочлена P(x) равна нулю, то одним из корней уравнения P(x)=0 (и корнем многочлена) является число 1. Докажите обратное утверждение.

Пусть

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Тогда сумма коэффициентов многочлена равна

$$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0.$$

Подставим в многочлен значение $$x=1$$:

$$P(1)=a_n\cdot 1^n+a_{n-1}\cdot 1^{n-1}+\dots+a_1\cdot 1+a_0=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0.$$

Значит, если сумма коэффициентов многочлена равна нулю, то

$$P(1)=0,$$

то есть число $$1$$ является корнем уравнения $$P(x)=0$$ и корнем многочлена.

Обратно, если $$1$$ — корень многочлена, то

$$P(1)=0.$$

Но тогда

$$a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=0,$$

то есть сумма коэффициентов многочлена равна нулю.

Ответ

Если сумма коэффициентов многочлена равна нулю, то $$1$$ является его корнем. Обратно, если $$1$$ является корнем многочлена, то сумма его коэффициентов равна нулю.