Упр.207 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 207. При каких значениях а произведение многочленов x^3+a^2x^2+4a и x^3+3x^2-x тождественно равно многочлену стандартного вида, не содержащему: а) x^4; б) x^3?

Перемножим многочлены и приведём подобные слагаемые:

$$ (x^3+a^2x^2+4a)(x^3+3x^2-x)= $$

$$ = x^6+3x^5-x^4+a^2x^5+3a^2x^4-a^2x^3+4ax^3+12ax^2-4ax $$

$$ = x^6+(3+a^2)x^5+(3a^2-1)x^4+(4a-a^2)x^3+12ax^2-4ax. $$

а) Чтобы произведение не содержало члена $$x^4$$, нужно, чтобы его коэффициент был равен нулю:

$$ 3a^2-1=0 $$

$$ 3a^2=1,\qquad a^2=\frac13 $$

$$ a=\pm\sqrt{\frac13}=\pm\frac{\sqrt3}{3}. $$

б) Чтобы произведение не содержало члена $$x^3$$, нужно, чтобы его коэффициент был равен нулю:

$$ 4a-a^2=0 $$

$$ a(4-a)=0 $$

$$ a=0 \quad \text{или} \quad a=4. $$

Ответ

а) $$a=\pm\frac{\sqrt3}{3}$$; б) $$a=0,\ 4$$.