Упр.204 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 204. Докажите, что графики функций y=x^3+6 и y=-3x+1 пересекаются в точке с иррациональной абсциссой.

Точки пересечения графиков удовлетворяют системе уравнений, значит их абсциссы являются корнями уравнения

$$x^3+6=-3x+1$$

$$x^3+3x+5=0.$$

Проверим, могут ли корни этого уравнения быть рациональными. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональный корень, то он должен быть целым делителем свободного члена $$5$$, то есть одним из чисел $$\pm 1,\ \pm 5.$$

Подставим их в уравнение:

$$1^3+3\cdot 1+5=9\ne 0,$$

$$(-1)^3+3\cdot(-1)+5=1\ne 0,$$

$$5^3+3\cdot 5+5=145\ne 0,$$

$$(-5)^3+3\cdot(-5)+5=-145\ne 0.$$

Следовательно, рациональных корней у уравнения $$x^3+3x+5=0$$ нет. Значит, абсцисса точки пересечения графиков не может быть рациональной, то есть она иррациональна.

Ответ

Графики пересекаются в точке с иррациональной абсциссой.