Упр.202 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 202. Докажите, что несократимая дробь p/q, где p?Z, q?N, q?-1, не может быть корнем уравнения x^5-24x^4+17x^3-7x^2+x-2=0.

Пусть $$x=\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь, где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N},\ q\ne 1.$$

Тогда, если бы $$\frac{p}{q}$$ была корнем уравнения

$$x^5-24x^4+17x^3-7x^2+x-2=0,$$

то по теореме о рациональных корнях возможные рациональные корни должны быть среди делителей свободного члена $$-2$$, то есть среди чисел $$\pm 1,\ \pm 2.$$

Проверим их:

$$f(1)=1-24+17-7+1-2=-14,$$

$$f(-1)=-1-24-17-7-1-2=-52,$$

$$f(2)=32-384+136-28+2-2=-244,$$

$$f(-2)=-32-384-136-28-2-2<0.$$

Ни одно из этих чисел не обращает многочлен в нуль, значит рациональных корней у уравнения нет.

Ответ

Несократимая дробь $$\frac{p}{q}$$ не может быть корнем данного уравнения.