Упр.199 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 199. Найдите замену переменной, при которой кубическое уравнение ax^3+bx^2+cx+d=0 сводится к приведённому кубическому уравнению вида x^3+px+q=0.

Разделим уравнение на $$a$$:

$$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0.$$

Сделаем замену переменной:

$$x=y-t.$$

Тогда

$$ (y-t)^3+\frac{b}{a}(y-t)^2+\frac{c}{a}(y-t)+\frac{d}{a}=0. $$

Раскроем скобки:

$$ y^3-3ty^2+3t^2y-t^3+\frac{b}{a}(y^2-2ty+t^2)+\frac{c}{a}y-\frac{ct}{a}+\frac{d}{a}=0. $$

Соберём подобные слагаемые:

$$ y^3+\left(\frac{b}{a}-3t\right)y^2+\left(3t^2-\frac{2b}{a}t+\frac{c}{a}\right)y-t^3+\frac{b}{a}t^2-\frac{ct}{a}+\frac{d}{a}=0. $$

Чтобы получить приведённое кубическое уравнение вида $$y^3+py+q=0$$, нужно, чтобы коэффициент при $$y^2$$ был равен нулю:

$$\frac{b}{a}-3t=0,$$

откуда

$$t=\frac{b}{3a}.$$

Значит, искомая замена:

$$x=y-\frac{b}{3a}.$$

Ответ

$$x=y-\frac{b}{3a}.$$