Упр.197 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что не имеет корней уравнение:
а) $$\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{1-4x^2}-\frac{3x-1}{6x-3}=0$$;
б) $$\frac{12x}{2x-1}-\frac{23}{x+4}=\frac{1}{2x^2+7x-4}$$;
в) $$\frac{x(x^2-1)}{3(x-2)}+\frac{x+4}{6-3x}=0$$. - Составьте какое-либо уравнение пятой степени вида $$P(x)=0$$, где $$P(x)$$ — многочлен стандартного вида, если известно, что множеством его корней является множество $$A$$, где:
а) $$A=\{0;\,-1;\,1;\,2;\,3\}$$;
б) $$A=\{-\sqrt{2};\,\sqrt{2};\,-2;\,3;\,5\}$$;
в) $$A=\{1;\,3;\,5\}$$;
г) $$A=\{0;\,4;\,-8\}$$.
а) Чтобы уравнение было пятой степени и его корнями были числа $$0,\,-1,\,1,\,2,\,3,$$ составим произведение линейных множителей:
$$x(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0.$$
Раскроем скобки:
$$x(x^2-1)(x^2-5x+6)=0,$$
$$x(x^4-5x^3+5x^2+5x-6)=0,$$
$$x^5-5x^4+5x^3+5x^2-6x=0.$$
б) Корни: $$-\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ -2,\ 3,\ 5.$$ Тогда
$$\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)(x+2)(x-3)(x-5)=0.$$
Упростим:
$$\left(x^2-2\right)(x^2-x-6)(x-5)=0,$$
$$\left(x^4-x^3-8x^2+2x+12\right)(x-5)=0,$$
$$x^5-6x^4-3x^3+42x^2+2x-60=0.$$
в) Чтобы получить уравнение пятой степени, один из корней возьмём дважды:
$$(x-1)^2(x-3)^2(x-5)=0.$$
Раскроем скобки:
$$(x^2-2x+1)(x^2-6x+9)(x-5)=0,$$
$$(x^4-8x^3+22x^2-24x+9)(x-5)=0,$$
$$x^5-13x^4+62x^3-134x^2+129x-45=0.$$
г) Корни: $$0,\ 4,\ -8.$$ Чтобы степень была пятой, один из корней повторим:
$$x^2(x-4)(x+8)=0.$$
Тогда
$$x^2(x^2+4x-32)=0,$$
$$x^4+4x^3-32x^2=0.$$
Чтобы получить уравнение пятой степени, умножим на $$x$$:
$$x^5+4x^4-32x^3=0.$$
Ответ
а) $$x^5-5x^4+5x^3+5x^2-6x=0$$; б) $$x^5-6x^4-3x^3+42x^2+2x-60=0$$; в) $$x^5-13x^4+62x^3-134x^2+129x-45=0$$; г) $$x^5+4x^4-32x^3=0$$.
