Упр.195 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\frac{x^2+1}{x-2}-\frac{x^2-1}{x+1}=8$$; б) $$\frac{x^3-2}{x-2}-x^2=2$$; в) $$\frac{2x+1}{x^3+8}+\frac{2x}{x^2-2x+4}=\frac{3}{x+2}$$; г) $$\frac{2p+7}{8p^3+1}-\frac{2}{2p+1}-\frac{5p}{4p^2-2p+1}=0$$.
2. Докажите, что при любом значении $$b$$ уравнение: а) $$(bx^2-x+1)(bx^5-2)=3x^7(b-5)$$ является уравнением седьмой степени; б) $$(bx^6-x^4)(bx^2+x)+14x^8=7bx^8$$ является уравнением восьмой степени.

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(bx^2-x+1)(bx^5-2)=b^2x^7-2bx^2-bx^6+2x+bx^5-2$$

Тогда уравнение принимает вид

$$b^2x^7-2bx^2-bx^6+2x+bx^5-2=3x^7(b-5)$$

$$b^2x^7-2bx^2-bx^6+2x+bx^5-2-3bx^7+15x^7=0$$

$$(b^2-3b+15)x^7-bx^6+bx^5-2bx^2+2x-2=0$$

Коэффициент при $$x^7$$ равен $$b^2-3b+15$$. Проверим, может ли он быть равен нулю:

$$b^2-3b+15=0,\qquad D=3^2-4\cdot 1\cdot 15=9-60=-51<0$$

Значит, $$b^2-3b+15\neq 0$$ при любом $$b$$, и уравнение действительно является уравнением седьмой степени.

б) Раскроем скобки:

$$(bx^6-x^4)(bx^2+x)=b^2x^8+bx^7-bx^6-x^5$$

Тогда получаем

$$b^2x^8+bx^7-bx^6-x^5+14x^8=7bx^8$$

$$(b^2-7b+14)x^8+bx^7-bx^6-x^5=0$$

Коэффициент при $$x^8$$ равен $$b^2-7b+14$$. Проверим его:

$$b^2-7b+14=0,\qquad D=7^2-4\cdot 1\cdot 14=49-56=-7<0$$

Следовательно, $$b^2-7b+14\neq 0$$ при любом $$b$$, и данное уравнение является уравнением восьмой степени.

Ответ

а) уравнение седьмой степени; б) уравнение восьмой степени.