Упр.191 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 191. Постройте график функции: а) y=[2x]; б) y={-0,5x}.

а) Функция $$y=[2x]$$ — это целая часть числа $$2x$$. Значит, на каждом промежутке, где $$2x$$ принимает значения от $$n$$ до $$n+1$$, функция постоянна и равна $$n$$.

Для построения удобно взять несколько значений:

$$ \begin{aligned} &-3 \le 2x < -2 \Rightarrow -\frac{3}{2} \le x < -1,\quad y=-3,\\ &-2 \le 2x < -1 \Rightarrow -1 \le x < -\frac{1}{2},\quad y=-2,\\ &-1 \le 2x < 0 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le x < 0,\quad y=-1,\\ &0 \le 2x < 1 \Rightarrow 0 \le x < \frac{1}{2},\quad y=0,\\ &1 \le 2x < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \le x < 1,\quad y=1. \end{aligned} $$

Получается ступенчатый график: на каждом таком промежутке — горизонтальный отрезок, а при переходе через целые значения $$2x$$ значение функции увеличивается на 1.

б) Функция $$y=\{-0{,}5x\}$$ — дробная часть числа $$-0{,}5x$$. Для дробной части всегда $$0 \le y < 1$$.

Если $$-0{,}5x \in [n,\,n+1)$$, то $$y=-0{,}5x-n$$. Поэтому график состоит из отрезков, идущих вниз с углом наклона, а затем скачком возвращающихся к значению $$1$$.

Например:

$$ \begin{aligned} &0 \le -0{,}5x < 1 \Rightarrow -2 < x \le 0,\quad y=-0{,}5x,\\ &1 \le -0{,}5x < 2 \Rightarrow -4 < x \le -2,\quad y=-0{,}5x-1,\\ &-1 \le -0{,}5x < 0 \Rightarrow 0 < x \le 2,\quad y=-0{,}5x+1. \end{aligned} $$

Следовательно, график — периодическая «пилообразная» линия с периодом $$2$$ по оси $$x$$.

Ответ

График функции $$y=[2x]$$ — ступенчатый, с горизонтальными отрезками на промежутках длины $$\frac12$$. График функции $$y=\{-0{,}5x\}$$ — пилообразный, лежит в полосе $$0 \le y < 1$$ и повторяется с периодом $$2$$.