Упр.19 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) f(x)=vx-1/vx; в) f(x)=x^2+vx;
б) f(x)=2x-1-1/(x+2), где x > -2; г) f(x)=(x+4)/(2-x), где x > 2.

Подробный ответ

Докажем возрастание каждой функции, используя свойства известных возрастающих и убывающих функций.

$$f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x>0.$$
Функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x>0$$.
Функция $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$ убывает при $$x>0$$, значит функция $$y=-\frac{1}{\sqrt{x}}$$ возрастает.
Сумма двух возрастающих функций возрастает, следовательно, $$f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$$ возрастает.
$$f(x)=2x-1-\frac{1}{x+2}, \quad x>-2.$$
Функция $$y=2x-1$$ возрастает.
При $$x>-2$$ имеем $$x+2>0$$, поэтому функция $$y=x+2$$ возрастает, а значит функция $$y=\frac{1}{x+2}$$ убывает. Тогда функция $$y=-\frac{1}{x+2}$$ возрастает.
Сумма возрастающих функций возрастает, следовательно, $$f(x)=2x-1-\frac{1}{x+2}$$ возрастает при $$x>-2$$.
$$f(x)=x^2+\sqrt{x}, \quad x>0.$$
Функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x>0$$.
Функция $$y=x^2$$ возрастает при $$x>0$$.
Сумма двух возрастающих функций возрастает, значит $$f(x)=x^2+\sqrt{x}$$ возрастает.
$$f(x)=\frac{x+4}{2-x}, \quad x>2.$$
Функция $$y=x+4$$ возрастает.
При $$x>2$$ имеем $$2-x<0$$, поэтому функция $$y=2-x$$ убывает. Тогда функция $$y=\frac{1}{2-x}$$ возрастает.
Произведение положительной возрастающей функции $$x+4$$ и возрастающей функции $$\frac{1}{2-x}$$ на промежутке $$x>2$$ также возрастает, следовательно, $$f(x)=\frac{x+4}{2-x}$$ возрастает.