Упр.184 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) принимает положительные значения на промежутках (-?; 1/4) и (1/2; +?);
б) принимает отрицательные значения на промежутках (-?; -1) и (1/7; +?);
в) имеет отрицательные значения на промежутке (1/5; 1);
г) имеет положительные значения на промежутке (-1/2; 1/8);
д) является монотонной на всей области определения?
Рассмотрим функцию $$y=ax^2-6x+1.$$
а) На промежутках $$(-\infty;\tfrac14)\cup(\tfrac12;+\infty)$$ функция положительна, значит нули функции равны $$x=\tfrac14$$ и $$x=\tfrac12,$$ а ветви параболы направлены вверх, то есть $$a>0.$$
Тогда
$$y=a\left(x-\tfrac14\right)\left(x-\tfrac12\right).$$
По формуле Виета:
$$\tfrac14+\tfrac12=\tfrac34=\frac{6}{a}, \qquad \tfrac14\cdot\tfrac12=\tfrac18=\frac{1}{a}.$$
Из второго равенства получаем $$a=8.$$
б) На промежутках $$(-\infty;-1)\cup(\tfrac17;+\infty)$$ функция отрицательна, значит нули функции равны $$x=-1$$ и $$x=\tfrac17,$$ а ветви параболы направлены вниз, то есть $$a<0.$$
Тогда
$$y=a(x+1)\left(x-\tfrac17\right).$$
По формуле Виета:
$$-1+\tfrac17=-\tfrac67=\frac{6}{a}, \qquad -1\cdot\tfrac17=-\tfrac17=\frac{1}{a}.$$
Из второго равенства получаем $$a=-7.$$
в) На промежутке $$\left(\tfrac15;1\right)$$ функция отрицательна, значит нули функции равны $$x=\tfrac15$$ и $$x=1,$$ а ветви параболы направлены вверх, то есть $$a>0.$$
Тогда
$$y=a\left(x-\tfrac15\right)(x-1).$$
По формуле Виета:
$$\tfrac15+1=\tfrac65=\frac{6}{a}, \qquad \tfrac15\cdot1=\tfrac15=\frac{1}{a}.$$
Из второго равенства получаем $$a=5.$$
г) На промежутке $$\left(-\tfrac12;\tfrac18\right)$$ функция положительна, значит нули функции равны $$x=-\tfrac12$$ и $$x=\tfrac18,$$ а ветви параболы направлены вниз, то есть $$a<0.$$
Тогда
$$y=a\left(x+\tfrac12\right)\left(x-\tfrac18\right).$$
По формуле Виета:
$$-\tfrac12+\tfrac18=-\tfrac38=\frac{6}{a}, \qquad -\tfrac12\cdot\tfrac18=-\tfrac1{16}=\frac{1}{a}.$$
Из второго равенства получаем $$a=-16.$$
д) Функция $$y=ax^2-6x+1$$ является монотонной на всей области определения только в случае, когда это линейная функция, то есть при $$a=0.$$
Ответ
а) $$a=8$$; б) $$a=-7$$; в) $$a=5$$; г) $$a=-16$$; д) $$a=0$$.
