Упр.182 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) пересекает ось х в двух точках;
б) касается оси х;
в) не имеет с осью х общих точек?

Чтобы график функции $$y=4x^2+3kx-k^2+1$$ пересекал ось $$x$$, касался её или не имел с ней общих точек, рассмотрим квадратное уравнение

$$4x^2+3kx-k^2+1=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(3k)^2-4\cdot 4\cdot(-k^2+1)=9k^2+16k^2-16=25k^2-16.$$

Далее используем знак дискриминанта:

1. График пересекает ось $$x$$ в двух точках, если $$D>0$$:
   $$25k^2-16>0,$$
   $$25k^2>16,$$
   $$k^2>\frac{16}{25},$$
   $$|k|>\frac45.$$
2. График касается оси $$x$$, если $$D=0$$:
   $$25k^2-16=0,$$
   $$25k^2=16,$$
   $$k^2=\frac{16}{25},$$
   $$|k|=\frac45.$$
3. График не имеет с осью $$x$$ общих точек, если $$D<0$$:
   $$25k^2-16<0,$$
   $$k^2<\frac{16}{25},$$
   $$|k|<\frac45.$$

Ответ

а) $$|k|>\frac45$$;

б) $$|k|=\frac45$$;

в) $$|k|<\frac45$$.