Упр.181 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Рациональным или иррациональным числом является абсцисса точки пересечения графиков функций $$y=x^3-4$$ и $$y=-2x+2$$?
2. Найдите расстояние $$d$$ от оси симметрии параболы $$y=x^2+px+q$$, зная, что $$p^2-4q>0$$, до точек пересечения параболы с осью $$x$$. Найдите значение $$d$$, если:
   а) $$p=-6$$; $$q=3$$;
   б) $$p=10$$; $$q=17$$.

Для параболы $$y=x^2+px+q$$ абсциссы точек пересечения с осью $$x$$ находятся из уравнения

$$x^2+px+q=0.$$

Так как $$p^2-4q>0,$$ уравнение имеет два различных корня:

$$x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}.$$

Ось симметрии параболы имеет уравнение

$$x=-\frac{p}{2}.$$

Расстояние от оси симметрии до точки пересечения с осью $$x$$ равно половине расстояния между корнями, то есть

$$d=\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}.$$

Теперь найдём $$d$$ для каждого случая.

1. $$p=-6,\quad q=3.$$

   $$d=\frac{\sqrt{(-6)^2-4\cdot 3}}{2}=\frac{\sqrt{36-12}}{2}=\frac{\sqrt{24}}{2}=\sqrt{6}.$$

2. $$p=10,\quad q=17.$$

   $$d=\frac{\sqrt{10^2-4\cdot 17}}{2}=\frac{\sqrt{100-68}}{2}=\frac{\sqrt{32}}{2}=2\sqrt{2}.$$

Ответ

а) $$\sqrt{6}$$; б) $$2\sqrt{2}$$.