Упр.18 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) f(x)=1/(7-x), где x < 7; в) f(x)=x|x|; б) f(x)=(x-2)^2, где x > 2; г) f(x)=1/v(1-x).

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{1}{7-x}, \quad x<7.$$
Рассмотрим функцию $$y=7-x.$$ При $$x<7$$ имеем $$7-x>0,$$ и эта функция убывает.
Функция $$y=\frac{1}{x}$$ на положительных значениях аргумента возрастает по модулю обратной зависимости, поэтому при убывании положительного знаменателя значение $$\frac{1}{7-x}$$ возрастает.
Следовательно, функция $$f(x)=\frac{1}{7-x}$$ возрастает при $$x<7.$$
б) $$f(x)=(x-2)^2, \quad x>2.$$
Положим $$y=x-2.$$ Тогда при $$x>2$$ имеем $$y>0,$$ и функция $$y=x-2$$ возрастает.
На положительных значениях аргумента функция $$y=x^2$$ возрастает, значит и композиция $$f(x)=(x-2)^2$$ возрастает при $$x>2.$$
в) $$f(x)=x|x|.$$
Рассмотрим два случая:
если $$x>0,$$ то $$f(x)=x\cdot x=x^2,$$ а функция $$x^2$$ возрастает при $$x>0$$;
если $$x<0,$$ то $$f(x)=x\cdot(-x)=-x^2,$$ а функция $$-x^2$$ возрастает при $$x<0.$$
Значит, функция $$f(x)=x|x|$$ возрастает на всей области определения.
г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}.$$
Область определения: $$1-x>0,$$ то есть $$x<1.$$
Функция $$y=1-x$$ при $$x<1$$ убывает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x>0,$$ значит $$\sqrt{1-x}$$ убывает. Тогда обратная величина $$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$ возрастает.
Следовательно, функция $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$ возрастает при $$x<1.$$