Упр.18 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график функции $$g(x)=\frac{4}{x}$$, где $$x>0$$, и график функции: а) $$y=g(-x)$$; б) $$y=-g(-x)$$.
2. Докажите, что функция $$f$$ является возрастающей, если: а) $$f(x)=\frac{1}{7-x}$$, где $$x<7$$; в) $$f(x)=x|x|$$; б) $$f(x)=(x-2)^2$$, где $$x>2$$; г) $$f(x)=\frac{1}{v(1-x)}$$.

1. а) $$f(x)=\frac{1}{7-x}, \quad x<7.$$

   Рассмотрим функцию $$y=7-x.$$ При $$x<7$$ имеем $$7-x>0,$$ и эта функция убывает.

   Функция $$y=\frac{1}{x}$$ на положительных значениях аргумента возрастает по модулю обратной зависимости, поэтому при убывании положительного знаменателя значение $$\frac{1}{7-x}$$ возрастает.

   Следовательно, функция $$f(x)=\frac{1}{7-x}$$ возрастает при $$x<7.$$

2. б) $$f(x)=(x-2)^2, \quad x>2.$$

   Положим $$y=x-2.$$ Тогда при $$x>2$$ имеем $$y>0,$$ и функция $$y=x-2$$ возрастает.

   На положительных значениях аргумента функция $$y=x^2$$ возрастает, значит и композиция $$f(x)=(x-2)^2$$ возрастает при $$x>2.$$

3. в) $$f(x)=x|x|.$$

   Рассмотрим два случая:

   если $$x>0,$$ то $$f(x)=x\cdot x=x^2,$$ а функция $$x^2$$ возрастает при $$x>0$$;

   если $$x<0,$$ то $$f(x)=x\cdot(-x)=-x^2,$$ а функция $$-x^2$$ возрастает при $$x<0.$$

   Значит, функция $$f(x)=x|x|$$ возрастает на всей области определения.

4. г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}.$$

   Область определения: $$1-x>0,$$ то есть $$x<1.$$

   Функция $$y=1-x$$ при $$x<1$$ убывает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x>0,$$ значит $$\sqrt{1-x}$$ убывает. Тогда обратная величина $$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$ возрастает.

   Следовательно, функция $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$ возрастает при $$x<1.$$

Ответ

Во всех случаях функция возрастает на указанной области определения.