Упр.177 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) g(x)=4x^2/(2x^2+3); в) g(x)=8-v(1-v(3x^2+4v3x+4));
б) g(x)=1/(x^2-6x+12); г) g(x)=(x^2+18x+81)/(x^2+18x+80).
а) $$g(x)=\frac{4x^2}{2x^2+3}$$
Положим $$y=\frac{4x^2}{2x^2+3}$$. Тогда
$$2yx^2+3y=4x^2$$
$$x^2(4-2y)=3y$$
$$x^2=\frac{3y}{4-2y}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то
$$\frac{3y}{4-2y}\ge 0$$
Отсюда $$0\le y<2$$. Значит, наименьшее значение функции равно $$0$$ и достигается при $$x=0$$. Наибольшего значения нет, так как $$y$$ может сколь угодно близко приближаться к $$2$$, но не достигает его.
б) $$g(x)=\frac{1}{x^2-6x+12}$$
Приведём знаменатель к квадрату:
$$x^2-6x+12=(x-3)^2+3\ge 3$$
Следовательно,
$$g(x)\le \frac13$$
Равенство достигается при $$x=3$$. Наименьшего значения функция не имеет, так как при $$|x|\to\infty$$ знаменатель неограниченно возрастает, а $$g(x)\to 0$$.
в) $$g(x)=8-\sqrt{\,1-\sqrt{3x^2+4\sqrt3\,x+4}\,}$$
Рассмотрим внутренний квадратный трёхчлен:
$$3x^2+4\sqrt3\,x+4$$
Его вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{4\sqrt3}{2\cdot 3}=-\frac{2}{\sqrt3}$$
и значение
$$3\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)^2+4\sqrt3\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)+4=0$$
Значит,
$$3x^2+4\sqrt3\,x+4\ge 0$$
Тогда
$$0\le \sqrt{3x^2+4\sqrt3\,x+4}$$
и выражение под внешним корнем принимает наибольшее значение при
$$\sqrt{3x^2+4\sqrt3\,x+4}=1$$
то есть при
$$3x^2+4\sqrt3\,x+3=0$$
$$D=(4\sqrt3)^2-4\cdot 3\cdot 3=12$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\sqrt3\pm 2\sqrt3}{6}$$
$$x_1=-\sqrt3,\qquad x_2=-\frac1{\sqrt3}$$
При этих значениях
$$g(x)=8-\sqrt{1-1}=8$$
Минимум достигается при максимальном значении внутреннего выражения, то есть при $$3x^2+4\sqrt3\,x+4=0$$, откуда $$x=-\frac{2}{\sqrt3}$$. Тогда
$$g\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)=8-\sqrt{1-0}=7$$
г) $$g(x)=\frac{x^2+18x+81}{x^2+18x+80}$$
Положим $$y=\frac{x^2+18x+81}{x^2+18x+80}$$. Тогда
$$yx^2+18yx+80y=x^2+18x+81$$
$$ (y-1)x^2+(18y-18)x+80y-81=0$$
Чтобы при некотором $$x$$ существовало решение, дискриминант этого уравнения по $$x$$ должен быть неотрицателен:
$$D=(18y-18)^2-4(y-1)(80y-81)\ge 0$$
$$324(y-1)^2-4(y-1)(80y-81)\ge 0$$
$$4y(y-1)\ge 0$$
$$y\le 0 \quad \text{или} \quad y\ge 1$$
Но
$$g(x)=\frac{x^2+18x+81}{x^2+18x+80}=1+\frac1{x^2+18x+80}$$
и при всех допустимых $$x$$ знаменатель положителен, значит $$g(x)>1$$. Следовательно, значений меньше или равных $$1$$ функция не принимает, а сверху не ограничена, так как при $$x^2+18x+80\to 0^+$$ значение $$g(x)\to +\infty$$. Поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
Ответ
а) $$g_{\min}=0$$ при $$x=0$$; наибольшего значения нет.
б) $$g_{\max}=\frac13$$ при $$x=3$$; наименьшего значения нет.
в) $$g_{\max}=8$$ при $$x=-\sqrt3$$ и $$x=-\frac1{\sqrt3}$$; $$g_{\min}=7$$ при $$x=-\frac{2}{\sqrt3}$$.
г) наибольшего и наименьшего значений нет.
