Упр.175 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) f(x)=(x^2+4)/(2x); в) f(x)=1-v(9-|x-2|);
б) f(x)=(3x-1)/(x-2); г) f(x)=3-1/(v(x-2)+1).

а) Пусть $$y=\frac{x^2+4}{2x}.$$ Тогда

$$2xy=x^2+4,$$

$$x^2-2yx+4=0.$$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=(2y)^2-4\cdot 4\ge 0,$$

$$4y^2-16\ge 0,$$

$$y^2-4\ge 0,$$

$$ (y-2)(y+2)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$

Значит, область значений:

$$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$

б) Пусть $$y=\frac{3x-1}{x-2}.$$ Тогда

$$y(x-2)=3x-1,$$

$$yx-2y=3x-1,$$

$$x(y-3)=2y-1.$$

Если $$y\ne 3,$$ то

$$x=\frac{2y-1}{y-3}.$$

Значит, любое значение $$y$$ возможно, кроме $$y=3$$.

Следовательно,

$$(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

в) Пусть $$y=1-\sqrt{9-|x-2|}.$$

Так как $$0\le |x-2|,$$ то

$$9-|x-2|\le 9,$$

а при существовании корня

$$0\le \sqrt{9-|x-2|}\le 3.$$

Тогда

$$-3\le -\sqrt{9-|x-2|}\le 0,$$

$$-2\le 1-\sqrt{9-|x-2|}\le 1.$$

Следовательно,

$$[-2;1].$$

г) Пусть $$y=3-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}.$$

Обозначим $$t=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$t\ge 0,$$ и

$$y=3-\frac{1}{t+1}.$$

Так как $$t+1\ge 1,$$ то

$$0<\frac{1}{t+1}\le 1,$$

значит

$$-1\le -\frac{1}{t+1}<0,$$

$$2\le 3-\frac{1}{t+1}<3.$$

Следовательно, область значений:

$$[2;3).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$; б) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$; в) $$[-2;1]$$; г) $$[2;3).$$