Упр.174 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) f(x)=1/(x^2+8); в) f(x)=v(10x-x^2-16);
б) f(x)=(3x^2+19)/(x^2+9); г) f(x)=1/v(x^2-6x+10).

1. а) $$f(x)=\frac{1}{x^2+8}$$

   Так как $$x^2 \ge 0,$$ то $$x^2+8 \ge 8.$$ Следовательно,

   $$0<\frac{1}{x^2+8}\le \frac{1}{8}.$$

   Значит, функция ограничена снизу числом $$0$$ и сверху числом $$\frac18.$$

2. б) $$f(x)=\frac{3x^2+19}{x^2+9}$$

   Положим $$y=\frac{3x^2+19}{x^2+9}.$$ Тогда

   $$y(x^2+9)=3x^2+19,$$

   $$x^2(y-3)=19-9y,$$

   $$x^2=\frac{19-9y}{y-3}\ge 0.$$

   Отсюда

   $$\frac{19-9y}{y-3}\ge 0,$$

   что даёт

   $$\frac{19}{9}\le y<3.$$

   Следовательно, нижняя граница равна $$\frac{19}{9},$$ верхняя — $$3.$$

3. в) $$f(x)=\sqrt{10x-x^2-16}$$

   Выражение под корнем преобразуем:

   $$10x-x^2-16=9-(x-5)^2.$$

   Так как $$ (x-5)^2\ge 0,$$ то

   $$10x-x^2-16\le 9.$$

   При этом подкоренное выражение неотрицательно, значит

   $$0\le \sqrt{10x-x^2-16}\le 3.$$

   Итак, функция ограничена снизу числом $$0$$ и сверху числом $$3.$$

4. г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-6x+10}}$$

   Преобразуем выражение под корнем:

   $$x^2-6x+10=(x-3)^2+1.$$

   Так как $$ (x-3)^2\ge 0,$$ то

   $$x^2-6x+10\ge 1,$$

   следовательно,

   $$\sqrt{x^2-6x+10}\ge 1.$$

   Тогда

   $$0<\frac{1}{\sqrt{x^2-6x+10}}\le 1.$$

   Значит, нижняя граница равна $$0,$$ верхняя — $$1.$$

Ответ

а) $$0$$ и $$\frac18$$; б) $$\frac{19}{9}$$ и $$3$$; в) $$0$$ и $$3$$; г) $$0$$ и $$1$$.