Упр.172 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 172. Докажите, что если уравнение x^2+bx+c=0 имеет два положительных корня, то уравнение x^2+b|x|+c=0 имеет четыре корня.

Пусть корни уравнения $$x^2+bx+c=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_1>0$$, $$x_2>0$$.

Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-b, \qquad x_1x_2=c.$$

Так как оба корня положительны, то для любого корня уравнения $$x^2+b|x|+c=0$$ можно рассмотреть два случая.

1) $$x>0$$. Тогда $$|x|=x$$, и уравнение принимает вид

$$x^2+bx+c=0.$$

Значит, положительными корнями этого уравнения являются $$x_1$$ и $$x_2$$.

2) $$x<0$$. Тогда $$|x|=-x$$, и уравнение принимает вид

$$x^2-bx+c=0.$$

Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+bx+c=0$$, то числа $$-x_1$$ и $$-x_2$$ являются корнями уравнения $$x^2-bx+c=0$$.

Следовательно, уравнение

$$x^2+b|x|+c=0$$

имеет корни

$$x_1,\; x_2,\; -x_1,\; -x_2.$$

Так как $$x_1>0$$ и $$x_2>0$$, все эти корни различны.

Ответ

Уравнение $$x^2+b|x|+c=0$$ имеет четыре корня: $$x_1,\; x_2,\; -x_1,\; -x_2$$.