Упр.17 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=4x^2+4x+3$$; б) $$y=-4x^2-4x-2$$.
2. Докажите, что функция $$g$$ является убывающей, если: а) $$g(x)=\frac{1}{10x+5}$$, где $$x>-\frac{1}{2}$$; в) $$g(x)=v(2-x)$$; б) $$g(x)=\frac{1}{x^2}$$, где $$x>0$$; г) $$g(x)=\frac{1}{vx}$$.

Докажем убывание каждой функции, используя свойства монотонности простых функций.

1. а) $$g(x)=\frac{1}{10x+5}, \quad x>-\frac12.$$

   Функция $$y=10x+5$$ при $$x>-\frac12$$ возрастает, так как её коэффициент при $$x$$ положителен. Тогда обратная к ней функция $$y=\frac{1}{10x+5}$$ убывает на указанной области определения.

2. б) $$g(x)=\frac{1}{x^2}, \quad x>0.$$

   На промежутке $$x>0$$ функция $$y=x^2$$ возрастает. Следовательно, функция, обратная к ней на этом промежутке, то есть $$y=\frac{1}{x^2}$$, убывает.

3. в) $$g(x)=\sqrt{2-x}.$$

   Функция $$y=2-x$$ убывает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает. Поэтому их композиция $$g(x)=\sqrt{2-x}$$ является убывающей.

4. г) $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

   При $$x>0$$ функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает. Тогда функция $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$, обратная по смыслу к возрастанию положительной функции, убывает на своей области определения.

Ответ

Функции $$g(x)=\frac{1}{10x+5}$$ при $$x>-\frac12$$, $$g(x)=\frac{1}{x^2}$$ при $$x>0$$, $$g(x)=\sqrt{2-x}$$ и $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$ убывают.