Упр.169 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) $$(x^2+4x)^2-(x+2)^2=416$$; в) $$(x^2+6x)^2-4(x+3)^2=156$$; б) $$(x^2-2x)^2+(x-1)^2=73$$; г) $$3(x^2+2x)^2=35(x+1)^2+115$$.
2. Решите уравнение $$x^3-(5-x)^3+2x=71$$.

Рассмотрим уравнение:

$$x^3-(5-x)^3+2x=71.$$

Преобразуем его:

$$x^3+(x-5)^3+2x=71.$$

Введём функцию

$$f(x)=x^3+(x-5)^3+2x.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=3x^2+3(x-5)^2+2.$$

Так как $$3x^2 \ge 0$$, $$3(x-5)^2 \ge 0$$ и $$2>0$$, то

$$f'(x)>0$$ при любом $$x$$.

Значит, функция $$f(x)$$ строго возрастает, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Проверим значение $$x=4$$:

$$4^3-(5-4)^3+2\cdot 4=64-1+8=71.$$

Следовательно, $$x=4$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ

$$x=4.$$