Упр.164 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения:
   а) $$x^3=x^2-2$$;
   б) $$x^3+x^2-x+2=0$$;
   в) $$x^3+x^2-7x+5=0$$;
   г) $$(x+2)^3+2(x-1)^2=66$$;
   д) $$(x+3)^3-(x-1)^2-4=0$$;
   е) $$(x-3)^3+8(x-2)^2=0$$.
2. Выясните характер монотонности функции:
   а) $$y=\sqrt{2x-1}$$;
   б) $$y=\sqrt{3-5x}$$;
   в) $$y=x^4+\sqrt{x-1}$$;
   г) $$y=|x|-\sqrt{x}$$, где $$x\ge1$$.

Используем свойства монотонности элементарных функций.

1. $$y=\sqrt{2x-1}$$

   Функция $$y=2x-1$$ возрастает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ тоже возрастает на своей области определения. Значит, их композиция возрастает.

   Ответ: возрастает.

2. $$y=\sqrt{3-5x}$$

   Функция $$y=3-5x$$ убывает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает. Поэтому композиция убывает.

   Ответ: убывает.

3. $$y=x^4+\sqrt{x-1}$$

   Область определения: $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$.

   На этой области функция $$y=x^4$$ возрастает, и функция $$y=\sqrt{x-1}$$ также возрастает. Сумма возрастающих функций возрастает.

   Ответ: возрастает.

4. $$y=|x|-\sqrt{x}, \quad x\ge 1$$

   При $$x\ge 1$$ имеем $$|x|=x$$, значит

   $$y=x-\sqrt{x}.$$

   Функция $$y=x$$ возрастает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает, следовательно, функция $$y=-\sqrt{x}$$ убывает. Для выяснения характера монотонности рассмотрим производную:

   $$y’ = 1-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   При $$x\ge 1$$ выполняется $$\frac{1}{2\sqrt{x}}\le \frac12$$, значит $$y’>0$$. Следовательно, функция возрастает.

   Ответ: возрастает.