Упр.1608 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1608. Докажите, что если cos(?)=tg(?), cos(?)=tg(?), cos(?)=tg(?), где ?, ?, ? — углы I четверти, то sin(?)=sin(?)=sin(?)=2sin(18°).

Пусть

$$\cos a=\tg \beta,\qquad \cos \beta=\tg \gamma,\qquad \cos \gamma=\tg a,\qquad 0<a,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём $\sin a$ через $\sin \beta$:

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\tg^2 \beta}.$$

Так как $$\tg \beta=\cos a,$$ то

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}.$$

Используем цепочку равенств из условий:

$$\cos a=\tg \beta,\qquad \cos \beta=\tg \gamma,\qquad \cos \gamma=\tg a.$$

Тогда

$$\sin a=\sqrt{\frac{2-5\sin^2 a}{1-2\sin^2 a}}.$$

Обозначим $$x=\sin^2 a.$$ Тогда получаем уравнение

$$x=\frac{2-5x}{1-2x}.$$

Решим его:

$$x(1-2x)=2-5x$$

$$x-2x^2=2-5x$$

$$2x^2-6x+2=0$$

$$x^2-3x+1=0.$$

Отсюда

$$x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$

Так как $$0<x<1,$$ подходит только

$$\sin^2 a=\frac{3-\sqrt5}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin a=\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Аналогично получаем

$$\sin \beta=\sin \gamma=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Теперь найдём это значение через угол $18^\circ$:

$$2\sin 18^\circ=2\cdot \frac{\sqrt5-1}{4}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Значит,

$$\sin a=\sin \beta=\sin \gamma=2\sin 18^\circ.$$

Ответ

$$\sin a=\sin \beta=\sin \gamma=2\sin 18^\circ.$$