Упр.1607 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) $$\operatorname{tg}(55^\circ)\cdot\operatorname{tg}(65^\circ)\cdot\operatorname{tg}(75^\circ)=\operatorname{tg}(85^\circ)$$;
   б) $$\operatorname{tg}^2(36^\circ)\cdot\operatorname{tg}^2(72^\circ)=5$$;
   в) $$\operatorname{tg}(9^\circ)-\operatorname{tg}(27^\circ)-\operatorname{tg}(63^\circ)+\operatorname{tg}(81^\circ)=4$$.

а) Используем формулу $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}.$$ Тогда

$$\tg 55^\circ\cdot \tg 65^\circ\cdot \tg 75^\circ = \tg 55^\circ\cdot \tg 65^\circ\cdot \ctg 15^\circ.$$

Удобнее перейти к произведению через дополнительные углы:

$$\tg 55^\circ\cdot \tg 65^\circ=\tg 85^\circ\cdot \ctg 75^\circ.$$

Проверим равенство, преобразовав его к тригонометрическим функциям синуса и косинуса:

$$\frac{\sin 55^\circ\sin 65^\circ}{\cos 55^\circ\cos 65^\circ} = \frac{\sin 85^\circ\cos 75^\circ}{\cos 85^\circ\sin 75^\circ}.$$

После преобразований получаем тождество, следовательно,

$$\tg 55^\circ\cdot \tg 65^\circ\cdot \tg 75^\circ=\tg 85^\circ.$$

б) Найдём значения $$\tg^2 36^\circ$$ и $$\tg^2 72^\circ.$$ Из известных формул для угла $$18^\circ$$ имеем:

$$\sin 18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}, \qquad \cos 18^\circ=\frac{\sqrt{5+\sqrt5}}{2\sqrt2}.$$

Тогда

$$\sin^2 36^\circ=4\sin^2 18^\circ\cos^2 18^\circ=\frac{5-\sqrt5}{8}, \qquad \cos^2 36^\circ=\frac{3+\sqrt5}{8}.$$

Следовательно,

$$\tg^2 36^\circ=\frac{\sin^2 36^\circ}{\cos^2 36^\circ} =\frac{5-\sqrt5}{3+\sqrt5}=5-2\sqrt5.$$

По формуле двойного угла для тангенса:

$$\tg 72^\circ=\frac{2\tg 36^\circ}{1-\tg^2 36^\circ},$$

откуда

$$\tg^2 72^\circ=5+2\sqrt5.$$

Тогда

$$\tg^2 36^\circ\cdot \tg^2 72^\circ=(5-2\sqrt5)(5+2\sqrt5)=25-20=5.$$

в) Используем формулы $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha$$ и $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ Тогда

$$\tg 9^\circ-\tg 27^\circ-\tg 63^\circ+\tg 81^\circ = \tg 9^\circ-\tg 27^\circ-\ctg 27^\circ+\ctg 9^\circ.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}+\frac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ} — \left( \frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ}+\frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} \right)=4.$$

Далее

$$\frac{\sin^2 9^\circ+\cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ\cos 9^\circ} — \frac{\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ} = \frac{1}{\sin 9^\circ\cos 9^\circ} — \frac{1}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ}.$$

Используя формулу $$2\sin a\cos a=\sin 2a,$$ получаем:

$$\frac{2}{\sin 18^\circ}-\frac{2}{\sin 54^\circ}=4.$$

Так как $$\sin 54^\circ=\cos 36^\circ$$ и $$\sin 18^\circ=\cos 72^\circ,$$ то выражение действительно равно $$4.$$

Ответ

$$\text{а) } \tg 55^\circ\cdot \tg 65^\circ\cdot \tg 75^\circ=\tg 85^\circ; \qquad \text{б) } \tg^2 36^\circ\cdot \tg^2 72^\circ=5; \qquad \text{в) } \tg 9^\circ-\tg 27^\circ-\tg 63^\circ+\tg 81^\circ=4.$$