Упр.1606 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если $$?$$, $$?$$, $$?$$ — углы треугольника, то верно равенство $$\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}\right)+\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}\right)+\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{?}{2}\right)=1$$.

Пусть углы треугольника равны $$\alpha,\ \beta,\ \gamma.$$ Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$

откуда

$$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

Найдём значение $$\tg \frac{\gamma}{2}:$$

$$\tg \frac{\gamma}{2} =\tg \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right) =\ctg \frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{\ctg \frac{\alpha}{2}\ctg \frac{\beta}{2}-1}{\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}}.$$

Тогда

$$\tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2} =\frac{\tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2}\left(\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}\right)}{\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}} =\frac{\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\alpha}{2}}{\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}}.$$

Аналогично

$$\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{\gamma}{2} =\frac{\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\alpha}{2}}{\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}}, \qquad \tg \frac{\gamma}{2}\tg \frac{\alpha}{2} =\frac{\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\alpha}{2}}{\ctg \frac{\alpha}{2}+\ctg \frac{\beta}{2}}.$$

Сложим три произведения:

$$\tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2} +\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{\gamma}{2} +\tg \frac{\gamma}{2}\tg \frac{\alpha}{2} =1.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{\gamma}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}\tg \frac{\alpha}{2}=1.$$