Упр.1605 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1605. Докажите, что если ?, ?, ? — углы треугольника, причём ? — тупой угол, то произведение тангенсов углов ? и ? меньше 1.

Пусть углы треугольника равны $$\alpha,\ \beta,\ \gamma,$$ причём $$\gamma$$ — тупой угол. Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi,\qquad \gamma>\frac{\pi}{2},\qquad \alpha<\frac{\pi}{2},\ \beta<\frac{\pi}{2}.$$

Нужно доказать, что

$$\tg\alpha\cdot\tg\beta<1.$$

Так как $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые, то их тангенсы определены и положительны. Запишем:

$$\tg\alpha\cdot\tg\beta=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}.$$

Тогда неравенство $$\tg\alpha\cdot\tg\beta<1$$ равносильно

$$\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}<1,$$

то есть

$$\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta<0.$$

По формуле косинуса суммы имеем

$$\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=-\cos(\alpha+\beta).$$

Но $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ значит

$$-\cos(\alpha+\beta)=-\cos(\pi-\gamma)=\cos\gamma.$$

Так как $$\gamma$$ — тупой угол, то $$\frac{\pi}{2}<\gamma<\pi,$$ следовательно, $$\cos\gamma<0.$$ Значит,

$$\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta<0,$$

а потому

$$\tg\alpha\cdot\tg\beta<1.$$

Ответ

$$\tg\alpha\cdot\tg\beta<1.$$