Упр.1604 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1604. Выразите cos(2?) через a, если tg^2(?)-a tg(?)+1=0, 0 < ? < ?/4, a?2.

Пусть $$t=\tg \alpha.$$ Тогда из условия получаем квадратное уравнение

$$t^2-at+1=0.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{4},$$ то $$0<t<1.$$ Следовательно, подходит меньший корень:

$$t=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}.$$

Теперь найдём $$\cos \alpha$$:

$$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$$

Подставим найденное значение $$t$$:

$$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\right)^2}}=\sqrt{\frac{2}{a\left(a-\sqrt{a^2-4}\right)}}.$$

Тогда

$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$

Подставим найденное выражение для $$\cos \alpha$$:

$$\cos 2\alpha=2\cdot \frac{2}{a\left(a-\sqrt{a^2-4}\right)}-1=\frac{4-a\left(a-\sqrt{a^2-4}\right)}{a\left(a-\sqrt{a^2-4}\right)}.$$

Упростим числитель:

$$4-a^2+a\sqrt{a^2-4}.$$

Используем равенство $$a^2-4=\left(a-\sqrt{a^2-4}\right)\sqrt{a^2-4},$$ и получаем

$$\cos 2\alpha=\frac{\sqrt{a^2-4}}{a}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{a^2-4}}{a}$$