Упр.1603 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1603. Докажите, что при любом натуральном n, большем 2, верно неравенство (n!)^(1/n) > vn.

Докажем неравенство

$$\sqrt[n]{n!} > \sqrt{n}, \quad n>2.$$

Возведём обе части в степень $$2n$$. Так как обе части положительны, знак неравенства сохранится:

$$\left(\sqrt[n]{n!}\right)^{2n} > \left(\sqrt{n}\right)^{2n},$$

то есть

$$\left(n!\right)^2 > n^n.$$

Распишем левую часть:

$$\left(n!\right)^2 = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n \cdot 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n.$$

Сгруппируем множители попарно:

$$\left(n!\right)^2 = 1\cdot n \cdot 2\cdot (n-1)\cdot 3\cdot (n-2)\cdots n\cdot 1.$$

Каждую пару можно оценить снизу:

$$k(n-k+1) \ge n,$$

так как

$$k(n-k+1)-n = k(n-k)-(n-k) = (n-k)(k-1)\ge 0.$$

Значит, все множители в произведении $$\left(n!\right)^2$$ не меньше $$n$$, поэтому

$$\left(n!\right)^2 \ge n^n.$$

При $$n>2$$ хотя бы для одной пары неравенство строгое, следовательно,

$$\left(n!\right)^2 > n^n.$$

Тогда

$$\sqrt[n]{n!} > \sqrt{n}.$$

Ответ

$$\sqrt[n]{n!} > \sqrt{n}, \quad n>2.$$