Упр.1602 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

• Докажите, что при любом натуральном $$n$$ верно неравенство $$\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\dots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cdot2n}$$: $$\frac{1}{2}<\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\dots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\dots\cdot2n}<1$$.

Рассмотрим произведение под корнем:

$$x=\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}.$$

Каждый множитель дроби вида $$\frac{2k-1}{2k}$$ удовлетворяет неравенству

$$\frac{1}{2}<\frac{2k-1}{2k}<1 \qquad (k=1,2,\ldots,n).$$

Тогда для всего произведения получаем:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n} < 1.$$

Так как все числа положительны, извлечём из неравенства $$n$$-ю степень корня:

$$\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}} < 1.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}} < 1.$$