Упр.1602 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1/2 < ((1·3·5·...·(2n-1))/(2·4·6·...·2n)) < 1.

Рассмотрим произведение под корнем:

$$ x=\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}. $$

Каждый множитель дроби вида $$\frac{2k-1}{2k}$$ удовлетворяет неравенству

$$ \frac{1}{2}<\frac{2k-1}{2k}<1 \qquad (k=1,2,\ldots,n). $$

Тогда для всего произведения получаем:

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n} < 1. $$

Так как все числа положительны, извлечём из неравенства $$n$$-ю степень корня:

$$ \frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}} < 1. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}} < 1. $$