Упр.1601 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите неравенство $$\left(2a^{1/4}+2b^{1/4}+2c^{1/4}\right)-\left(va+vb+vc\right)?3$$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$(2\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{b}+2\sqrt[4]{c})-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$
$$= \bigl(2\sqrt[4]{a}-\sqrt{a}\bigr)+\bigl(2\sqrt[4]{b}-\sqrt{b}\bigr)+\bigl(2\sqrt[4]{c}-\sqrt{c}\bigr).$$

Обозначим $$x=\sqrt[4]{a},\ y=\sqrt[4]{b},\ z=\sqrt[4]{c}$$, тогда $$\sqrt{a}=x^2,\ \sqrt{b}=y^2,\ \sqrt{c}=z^2$$, и выражение принимает вид

$$(2x-x^2)+(2y-y^2)+(2z-z^2).$$

Дополняем до квадратов:

$$2x-x^2=1-(x-1)^2,\quad 2y-y^2=1-(y-1)^2,\quad 2z-z^2=1-(z-1)^2.$$

Тогда

$$(2x-x^2)+(2y-y^2)+(2z-z^2) =3-\bigl((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\bigr).$$

Так как сумма квадратов неотрицательна, то

$$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\ge 0.$$

Следовательно,

$$3-\bigl((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\bigr)\le 3.$$

Значит,

$$(2\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{b}+2\sqrt[4]{c})-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le 3.$$

Ответ

$$(2\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{b}+2\sqrt[4]{c})-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le 3.$$