Упр.1601 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

(2a^(1/4)+2b^(1/4)+2c^(1/4))-(va+vb+vc)?3.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$ (2\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{b}+2\sqrt[4]{c})-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) $$
$$ = \bigl(2\sqrt[4]{a}-\sqrt{a}\bigr)+\bigl(2\sqrt[4]{b}-\sqrt{b}\bigr)+\bigl(2\sqrt[4]{c}-\sqrt{c}\bigr). $$

Обозначим $$x=\sqrt[4]{a},\ y=\sqrt[4]{b},\ z=\sqrt[4]{c}$$, тогда $$\sqrt{a}=x^2,\ \sqrt{b}=y^2,\ \sqrt{c}=z^2$$, и выражение принимает вид

$$ (2x-x^2)+(2y-y^2)+(2z-z^2). $$

Дополняем до квадратов:

$$ 2x-x^2=1-(x-1)^2,\quad 2y-y^2=1-(y-1)^2,\quad 2z-z^2=1-(z-1)^2. $$

Тогда

$$ (2x-x^2)+(2y-y^2)+(2z-z^2) =3-\bigl((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\bigr). $$

Так как сумма квадратов неотрицательна, то

$$ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\ge 0. $$

Следовательно,

$$ 3-\bigl((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\bigr)\le 3. $$

Значит,

$$ (2\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{b}+2\sqrt[4]{c})-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le 3. $$

Ответ

$$ (2\sqrt[4]{a}+2\sqrt[4]{b}+2\sqrt[4]{c})-(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le 3. $$