Упр.1600 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) av(x+1) < 1; б) (a+1)v(2-x) < 1.

а) $$a\sqrt{x+1}<1.$$

Сначала учтём область определения: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

1) Если $$a\le 0,$$ то левая часть неравенства не положительна, а правая равна $$1>0.$$ Значит, неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения:

$$x\in[-1;+\infty).$$

2) Если $$a>0,$$ то можно разделить обе части на $$a$$:

$$\sqrt{x+1}<\frac1a.$$

Возводим в квадрат:

$$x+1<\frac1{a^2}.$$

С учётом области определения получаем:

$$-1\le x<\frac1{a^2}-1.$$

б) $$\left(a+1\right)\sqrt{2-x}<1.$$

Область определения:

$$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$

1) Если $$a\le -1,$$ то $$a+1\le 0,$$ значит левая часть не положительна, а правая равна $$1>0.$$ Следовательно, неравенство верно при всех $$x$$ из области определения:

$$x\in(-\infty;2].$$

2) Если $$a>-1,$$ то $$a+1>0$$ и можно разделить на $$a+1$$:

$$\sqrt{2-x}<\frac1{a+1}.$$

Возводим в квадрат:

$$2-x<\frac1{(a+1)^2}.$$

Тогда

$$x>2-\frac1{(a+1)^2}.$$

С учётом условия $$x\le 2$$ получаем:

$$2-\frac1{(a+1)^2}<x\le 2.$$

Ответ

а) $$x\in[-1;+\infty)$$ при $$a\le 0$$; $$x\in\left[-1;\frac1{a^2}-1\right)$$ при $$a>0.$$

б) $$x\in(-\infty;2]$$ при $$a\le -1$$; $$x\in\left(2-\frac1{(a+1)^2};\,2\right]$$ при $$a>-1.$$