Упр.160 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если сумма коэффициентов многочлена $$P(x)$$ равна нулю, то одним из корней уравнения $$P(x)=0$$ (и корнем многочлена) является число $$1$$. Докажите обратное утверждение.
2. Парабола $$y=ax^2+bx+c$$ проходит через точку $$A(1; 3)$$, а её вершина принадлежит прямой $$x=0{,}5$$. Найдите координаты пересечения этой параболы с осью $$y$$.

Пусть парабола задана уравнением $$y=ax^2+bx+c.$$

Координата вершины по оси $$x$$ равна $$0{,}5$$, значит

$$x_0=-\frac{b}{2a}=0{,}5,$$

откуда

$$-\frac{b}{2a}=\frac12 \Rightarrow b=-a.$$

Так как парабола проходит через точку $$A(1;3),$$ подставим её координаты в уравнение:

$$a+b+c=3.$$

С учётом $$b=-a$$ получаем

$$a-a+c=3,$$

$$c=3.$$

Точка пересечения с осью $$y$$ имеет абсциссу $$x=0$$, поэтому

$$y(0)=c=3.$$

Следовательно, парабола пересекает ось $$y$$ в точке $$(0;3).$$

Ответ

$$(0;3)$$