Упр.1599 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите относительно $$x$$ уравнение:
   а) $$x-3\sqrt[3]{x}=a^3+\frac{1}{a^3}$$, где $$a\ne0$$;
   б) $$\sqrt[3]{(a+x)^2}-15\sqrt[3]{(a-x)^2}-2\sqrt[3]{a^2-x^2}=0$$.

1. а) Преобразуем правую часть:

   $$a^3+\frac{1}{a^3}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\frac{1}{a}\right).$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$x-3\sqrt[3]{x}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\frac{1}{a}\right).$$

   Положим

   $$\sqrt[3]{x}=a+\frac{1}{a}.$$

   Тогда

   $$x=\left(a+\frac{1}{a}\right)^3,$$

   и уравнение выполняется.

   Если же $$a=\pm 1,$$ то получаем:

   при $$a=1$$:

   $$x-3\sqrt[3]{x}=2,$$

   откуда $$x_1=8,\; x_2=-1;$$

   при $$a=-1$$:

   $$x-3\sqrt[3]{x}=-2,$$

   откуда $$x_1=-8,\; x_2=1.$$

2. б) Обозначим

   $$y=\sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}-15\sqrt[3]{\frac{a-x}{a+x}}-2=0,$$

   то есть

   $$y-\frac{15}{y}-2=0.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-2y-15=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=4+60=64,$$

   $$y_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2},$$

   откуда

   $$y_1=-3,\quad y_2=5.$$

   1) Если $$y=-3,$$ то

   $$\sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}=-3,$$

   $$\frac{a+x}{a-x}=-27,$$

   $$a+x=-27a+27x,$$

   $$26x=28a,\quad x=\frac{14a}{13}.$$

   2) Если $$y=5,$$ то

   $$\sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}=5,$$

   $$\frac{a+x}{a-x}=125,$$

   $$a+x=125a-125x,$$

   $$126x=124a,\quad x=\frac{62a}{63}.$$

Ответ

а) $$x=\left(a+\frac{1}{a}\right)^3,\; a\ne \pm 1;\quad a=1:\ x=8,\,-1;\quad a=-1:\ x=-8,\,1.$$

б) $$x=\frac{14a}{13}$$ или $$x=\frac{62a}{63}.$$