Упр.1598 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (9+x^(1/2))^(1/3)+(9-x^(1/2))^(1/3)=3·2^(1/3);
б) (x^(1/2)+1)^(1/3)-(x^(1/2)-1)^(1/3)=1.

а) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{9+\sqrt{x}}, \quad b=\sqrt[3]{9-\sqrt{x}}.$$

Тогда

$$a+b=3\sqrt[3]{2}.$$

Возведём это равенство в куб:

$$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. $$

Так как

$$a^3+b^3=(9+\sqrt{x})+(9-\sqrt{x})=18,$$

то

$$ 54=18+3ab(a+b). $$

Подставим $$a+b=3\sqrt[3]{2}$$:

$$ 54=18+9\sqrt[3]{2}\,ab, $$

$$ 9\sqrt[3]{2}\,ab=36, $$

$$ ab=\frac{4}{\sqrt[3]{2}}=2\sqrt[3]{4}. $$

Но

$$ ab=\sqrt[3]{(9+\sqrt{x})(9-\sqrt{x})}=\sqrt[3]{81-x}. $$

Тогда

$$ \sqrt[3]{81-x}=2\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{32}, $$

$$ 81-x=32, $$

$$ x=49. $$

Проверка: $$\sqrt{49}=7$$, тогда

$$ \sqrt[3]{9+7}+\sqrt[3]{9-7}=\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}. $$

б) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{\sqrt{x}+1}, \quad b=\sqrt[3]{\sqrt{x}-1}.$$

Тогда

$$a-b=1.$$

Возведём в куб:

$$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. $$

Так как

$$a^3-b^3=(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-1)=2,$$

то

$$ 1=2-3ab(a-b). $$

С учётом $$a-b=1$$ получаем

$$ 3ab=1. $$

Но

$$ ab=\sqrt[3]{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\sqrt[3]{x-1}. $$

Следовательно,

$$ 3\sqrt[3]{x-1}=1. $$

Возведём в куб:

$$ 27(x-1)=1, $$

$$ x-1=\frac{1}{27}, $$

$$ x=\frac{28}{27}. $$

Проверка области определения: $$x\ge 1$$, значит найденное значение подходит.

Ответ

а) $$49$$; б) $$\frac{28}{27}$$.