Упр.1597 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (629-x)^(1/4)+(77+x)^(1/4)=8;
б) ((29-x)(x-1)^(1/3)-(x-1)(29-x)^(1/3))/((29-x)^(1/3)-(x-1)^(1/3))=12;
в) ((65+x)^2)^(1/3)+4((65-x)^2)^(1/3)-5(4225-x^2)^(1/3)=0.

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=\sqrt[4]{629-x}, \quad b=\sqrt[4]{77+x}.$$ Тогда
$$a+b=8,$$
а также
$$a^4+b^4=(629-x)+(77+x)=706.$$
Подставим $$b=8-a$$:
$$a^4+(8-a)^4=706.$$
После раскрытия скобок получаем
$$a^4-16a^3+192a^2-1024a+1695=0.$$
Разложим на множители:
$$ (a-3)(a-5)(a^2-8a+113)=0.$$
Отсюда $$a=3$$ или $$a=5$$.
Если $$a=3,$$ то
$$\sqrt[4]{629-x}=3 \Rightarrow 629-x=81 \Rightarrow x=548.$$
Если $$a=5,$$ то
$$\sqrt[4]{629-x}=5 \Rightarrow 629-x=625 \Rightarrow x=4.$$
б) Обозначим $$a=\sqrt[3]{29-x}, \quad b=\sqrt[3]{x-1}.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$\frac{a^3b-b^3a}{a-b}=12.$$
Так как
$$a^3+b^3=(29-x)+(x-1)=28,$$
то
$$\frac{ab(a^2-b^2)}{a-b}=ab(a+b)=12.$$
Кроме того,
$$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=28+3ab(a+b).$$
Поскольку $$ab(a+b)=12,$$ получаем
$$ (a+b)^3=28+36=64,$$
значит, $$a+b=4.$$ Тогда
$$ab=\frac{12}{4}=3.$$
Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-4t+3=0,$$
откуда $$t=1$$ или $$t=3.$$
Если $$a=1,$$ то
$$\sqrt[3]{29-x}=1 \Rightarrow 29-x=1 \Rightarrow x=28.$$
Если $$a=3,$$ то
$$\sqrt[3]{29-x}=3 \Rightarrow 29-x=27 \Rightarrow x=2.$$
в) Заметим, что
$$\sqrt[3]{(65+x)^2}=\left(\frac{65+x}{65-x}\right)^{\frac13}\sqrt[3]{(65-x)^2},$$
поэтому удобно ввести замену
$$y=\sqrt[3]{\frac{65+x}{65-x}}.$$
Тогда уравнение сводится к
$$y^2-5y+4=0.$$
Решаем:
$$ (y-1)(y-4)=0,$$
значит, $$y=1$$ или $$y=4.$$
Если $$y=1,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{65+x}{65-x}}=1 \Rightarrow \frac{65+x}{65-x}=1 \Rightarrow x=0.$$
Если $$y=4,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{65+x}{65-x}}=4 \Rightarrow \frac{65+x}{65-x}=64,$$
$$65+x=4160-64x,$$
$$65x=4095,\quad x=63.$$