Упр.1596 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$x^3-3x$$ при $$x=\frac{1}{(\sqrt{2}-1)^{1/3}}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{1/3}}$$.

Обозначим

$$a=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt2-1}}, \qquad b=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt2+1}}.$$

Тогда

$$x=a+b.$$

Найдём произведение:

$$ab=\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2-1}}=1.$$

Теперь вычислим сумму кубов:

$$a^3+b^3=\frac{1}{\sqrt2-1}+\frac{1}{\sqrt2+1}=\frac{(\sqrt2+1)+(\sqrt2-1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\frac{2\sqrt2}{1}=2\sqrt2.$$

Используем формулу:

$$x^3=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b).$$

Тогда

$$x^3-3x=a^3+b^3+3ab(a+b)-3(a+b)=a^3+b^3+3(ab-1)(a+b).$$

Так как $$ab=1,$$ получаем

$$x^3-3x=a^3+b^3=2\sqrt2.$$

Ответ

$$2\sqrt2$$